pythonでネイピア数を計算する

今日はpythonでネイピア数を計算して見ます。

ネイピア数は指数関数$a^x$を微分しても、元の$a^x$になるように$a$を選んだもので、その時の$a$を$e$と記述しネイピア数と呼んでいます。式で表すと以下のようになります。

\begin{equation}
\frac{d e^x}{d x} = e^x
\end{equation}

 ネイピア数は上の微分の式から、微分の定義に従って求めてみると、以下の式で表すことができることが、わかります。

\begin{equation}
e= \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n
\end{equation}

 数値計算で$n$をだんだん大きくして求めていきその様子をグラフ化して見ます。

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pythonで１次遅れのボード線図を描く その２

一般的な場合の１次遅れの伝達関数

前回、具体的な伝達関数を使って、１次遅れの伝達関数のボード線図を書いて見ました。
では、一般的な場合はどうかと言うことを考えて見たいと思います。

さて、一般的な場合というのはどういうことかというと、１次遅れの伝達関数をゲイン$K$と時定数$\tau$というものを使って記述するのが、普通のようです。
以下のようになります。

\begin{equation}
G(s)=\frac{K}{\tau s + 1}
\end{equation}

周波数伝達関数

さて、この式からボード線図を描くのに必要なゲインと位相を求めましょう。
まず$s$に$j \omega$を代入します。そして分母を有理化します。

\begin{equation}
G(j \omega)=\frac{K}{1 + \tau \omega j} \frac{1- \tau \omega j}{1-\tau \omega j}
= \frac{K(1 - \tau \omega j)}{1+(\tau \omega)^2}
\end{equation}

ゲインの計算

ゲインを求めると

\begin{equation}
|G(j \omega)|=\sqrt{\frac{K^2 + (-K \tau \omega )^2}{\{1+(\tau \omega)^2\}^2}}
=\sqrt{ \frac{K^2 \{1 + (\tau \omega)^2 \}}{\{1+(\tau \omega)^2\}^2} }
=\frac{K \sqrt{1+ (\tau \omega)^2}}{ 1 + (\tau \omega)^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{split}
20 \log |G(j \omega)|&=20 \log \frac{K \sqrt{1+ (\tau \omega)^2}}{ 1 + (\tau \omega)^2}\\
&=20 \log K + 10 \log \{1 +  (\tau \omega)^2 \} - 20 \log \{1 +  (\tau \omega)^2 \}\\
&=20 \log K - 10 \log \{1 +  (\tau \omega)^2 \}
\end{split}
\end{equation}

簡単になりましたね。

位相の計算

位相を求めましょう。

\begin{equation}
\angle |G(j \omega)| = \tan^{-1} ( -\tau \omega)= - \tan^{-1}  \tau \omega
\end{equation}

数値計算

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